とりあえず良いテキストがあるんでリンク
Q＆A
群と表現（岩波、吉川）、P67より
シュールの補題１）
群Gの２つの既約表現をD1,D2とし、それぞれが作用するベクトル空間をV1（ｍ次元）、V2（n次元）とする。
V1からV2へのn行m列変換行列Mが
MD1=D2M
を満たすなｒば、MはV1からV2への同型写像であるか、またはM=0である。
同型写像とは、１対１の写像で逆写像も存在するものを言う。
[証明]
n行m列の行列Mはn次元空間V1のベクトルをm次元空間V2のベクトルに移す行列である。
またV1のベクトルｖで、Mによる写像によって0ベクトルになるもの、すなわちMｖ=0となるベクトルの集合をMの核Nと呼ぼう。
Nに属するベクトルｖに対しては、任意の元ｇに対して
MD1ｖ=D2Mv=0
となる。よってD1ｇｖも核Nに属する。
したがってNは群Gの既約な普遍部分空間V1か、あるいはN=0である。 （ここで少し悩みました）
N=V1ならばすべてのｇに対してD1ｖ≠0であるからM=0。
N=0なら Mv=0となるｖは存在しないのでn=m。 (質問した場所です。n=mが結論づけられる理由がわかりませんでした。）
したがってMは同型写像となる。
このときはM＾（-1)が存在するので
M D1 M^(-1) = D2
となる。
本当に投げやりやね。
想像力をフル稼働して考えた。
M は m×n 行列で、既にどこかで m≦n が示されていて、
N=0なら Mv=0となる v葉存在しないので
M の各列ベクトルは線形独立、つまり rank M＝n。
一般に rank M≦min(m,n) だから、( rank M＝ ) n＝m。
正方行列の階数が最大なら正則行列となるので、M は同型写像となる。
というわけで
ｎ=m,従ってMは同系写像となる。
295 名前：ご冗談でしょう？名無しさん[sage] 投稿日：2008/11/22(土) 11:50:28 ID:???
自分が知ってる証明.
M≠0とする. KerM=0からMは単射. D2(g)ImM⊆ImMから、
ImM=0,V2. M≠0から,ImM=V2. よって同型.
299 名前：ご冗談でしょう？名無しさん[sage] 投稿日：2008/11/23(日) 00:22:30 ID:???
N=0なら Mv=0となるｖは存在しないのでn=m
したがってMは同型写像となる
とりあえず線形代数の本を読み返したら
ｎ≠ｍの場合は基底の個数が違う
→１対１の対応がつけられない
→同型でない
とだけ書いてありました。
295
M≠0とする
KerM=0からMは単射 （ここで線形代数の本引っ張り出してきました。Mが単射であるための必要十分条件）
D2(g)ImM⊆ImMから （ここが理解できないです）
ImM=0,V2.
M≠0から,ImM=V2.
よって同型.
300 名前：ご冗談でしょう？名無しさん[sage] 投稿日：2008/11/23(日) 00:44:10 ID:???
不丁寧でした.
w=Mv∈ImM (v∈V1)に対して,
D2w=D2Mv=MD1v∈ImM
だから, D2wもImMの元. したがってImMはV2か0.
293でN=KerMがV1か0であることと同じ話.
300
理解しました。ImM のような記述を使った議論にあまり慣れていなかったのが原因で、具体的にV2の
要素に置き換えればよかったんですね。
D2wもImMの元. したがってImMはV2か0.
ImMは単射だから、V2になるか0かどちらかという理解でいいですか？
最終更新：2008年11月27日 11:49
