物理数学


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とりあえず良いテキストがあるんでリンク



  • とりあえず場の量子論スレからの質問と回答 -- (名無しさん) 2008-11-27 11:48:42
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Q&A

群と表現(岩波、吉川)、P67より

シュールの補題1)
群Gの2つの既約表現をD1,D2とし、それぞれが作用するベクトル空間をV1(m次元)、V2(n次元)とする。
V1からV2へのn行m列変換行列Mが
MD1=D2M
を満たすなrば、MはV1からV2への同型写像であるか、またはM=0である。
同型写像とは、1対1の写像で逆写像も存在するものを言う。

[証明]
n行m列の行列Mはn次元空間V1のベクトルをm次元空間V2のベクトルに移す行列である。
またV1のベクトルvで、Mによる写像によって0ベクトルになるもの、すなわちMv=0となるベクトルの集合をMの核Nと呼ぼう。
Nに属するベクトルvに対しては、任意の元gに対して
MD1v=D2Mv=0
となる。よってD1gvも核Nに属する。

したがってNは群Gの既約な普遍部分空間V1か、あるいはN=0である。   (ここで少し悩みました)

N=V1ならばすべてのgに対してD1v≠0であるからM=0。 
N=0なら Mv=0となるvは存在しないのでn=m。    (質問した場所です。n=mが結論づけられる理由がわかりませんでした。)
したがってMは同型写像となる。
このときはM^(-1)が存在するので
M D1 M^(-1) = D2
となる。


本当に投げやりやね。
想像力をフル稼働して考えた。

M は m×n 行列で、既にどこかで m≦n が示されていて、

N=0なら Mv=0となる v葉存在しないので

M の各列ベクトルは線形独立、つまり rank M=n。
一般に rank M≦min(m,n) だから、( rank M= ) n=m。
正方行列の階数が最大なら正則行列となるので、M は同型写像となる。
というわけで

n=m,従ってMは同系写像となる。

295 名前:ご冗談でしょう?名無しさん[sage] 投稿日:2008/11/22(土) 11:50:28 ID:???
自分が知ってる証明.

M≠0とする. KerM=0からMは単射. D2(g)ImM⊆ImMから、
ImM=0,V2. M≠0から,ImM=V2. よって同型.

299 名前:ご冗談でしょう?名無しさん[sage] 投稿日:2008/11/23(日) 00:22:30 ID:???
N=0なら Mv=0となるvは存在しないのでn=m
したがってMは同型写像となる


とりあえず線形代数の本を読み返したら

n≠mの場合は基底の個数が違う
→1対1の対応がつけられない
→同型でない

とだけ書いてありました。

295
M≠0とする
KerM=0からMは単射  (ここで線形代数の本引っ張り出してきました。Mが単射であるための必要十分条件)
D2(g)ImM⊆ImMから  (ここが理解できないです)
ImM=0,V2.
M≠0から,ImM=V2.
よって同型.


300 名前:ご冗談でしょう?名無しさん[sage] 投稿日:2008/11/23(日) 00:44:10 ID:???
不丁寧でした.

w=Mv∈ImM (v∈V1)に対して,
D2w=D2Mv=MD1v∈ImM
だから, D2wもImMの元. したがってImMはV2か0.

293でN=KerMがV1か0であることと同じ話.

300
理解しました。ImM のような記述を使った議論にあまり慣れていなかったのが原因で、具体的にV2の
要素に置き換えればよかったんですね。

D2wもImMの元. したがってImMはV2か0.

ImMは単射だから、V2になるか0かどちらかという理解でいいですか?
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